Equações Trigonométricas
Gabarito de Matemática sobre o tema Equações Trigonométricas com questões de Vestibulares.
Equações Trigonométricas é toda igualdade onde aparece uma função Trigonométricas com o arco desconhecido.
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01. (PUC) Se sen x = -1, então o valor de sen 3x é:
- -1/3
- 0
- 1
- -1
- -3
Resposta: C
Resolução: sen(a+b)= sena.cosb+sena.cosb
sen(x+x)=sen(2x)
sen(2x)=senx.cosx+senx.cosx
sen(2x)=2senxcosx
sen(2x+x)=sen(3x)
sen(3x)=2senxcosx.cosx + senx.cos2x
sen(3x)=2senxcos²x + senx(cos²x-sen²x)
sen(3x)=2senxcos²x+senxcos²x -sen³x
sen(3x)=3senxcos²x -sen³x
cos²x=1-sen²x
cos²x=1-(-1)²
cos²x=0
cosx=0
sen(3x)=3senxcos²x -sen³x
sen(3x)=-sen³x
sen(3x)=-(-1)³
sen(3x)=1 (c)
02. (Carlos Chagas) O Número de soluções da equação cos 2x = 1/2, no intervalo [-π π], é
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
Resposta: E
Resolução: 4
03. (Fatec) O conjunto solução da equação 2cos²x+cosx-1=0, no universo U=[0,2π], é
- {π/3, π, 5π/3}
- {π/6, π, 5π/6}
- {π/3, π/6, π}
- {π/6, π/3, π, 2π/3, 5π/3}
- {π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3, 2π}
Resposta: A
Resolução: {π/3, π, 5π/3}
04. (Cesgranrio) Todos os valores de x ∈ [<, 2<] que satisfazem senx.cosx>0 são:
- π< x < 5 π/4
- 5™/4 < x < π
- π < x < 3π/2
- 3π/2 < x < 2π
- 3π/2 < x < 7π/4
Resposta: C
Resolução: π < x < 3π/2
05. (Ufrrj) O número de soluções da equação 2cos²x - 3cosx - 2 = 0 no intervalo [0, π] é
- 1
- 0
- 2
- 4
- 3
Resposta: A
Resolução: 1
06. (Unirio) O conjunto-solução da equação senx=cosx, sendo 0≤x<2π, é:
- {π/4}
- {π/3}
- {5π/4}
- {π/3, 4π/3}
- {π/4, 5π/4}
Resposta: E
Resolução: sen x = cos x
sen x - cos x = 0
sen x - sen (π/2 - x) = 0
2·sen(x - π/4)·cos(π/4) = 0
(√(2))·sen(x - π/4) = 0
sen(x - π/4) = 0 = sen(0)
x - π/4 = 2kπ ou x - π/4 = π + 2kπ ⇔ x - π/4 = kπ
x = kπ + π/4
k = -1 ⇒ x = -π + π/4 = -3π/4 (não convém, o que também vale para valores k < -1)
k=0 ⇒ x=π/4
k=1 ⇒ x=π + π/4=5π/4
k=2 ⇒ x=2π + π/4=9π/4 (não convém, o que vale também para valores k> 2)
S = {π/4, 5π/4}
07. (PUC-PR) Considere as expressões trigonométricas A = cos x + cos y e B = sen x – sen y.
Sabendo que x + y = 1200, assinale a alternativa que corresponde ao valor de A2 + B2.
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
- 5.
Resposta: A
Resolução: 1
08. (FGV-SP) A única solução da equação sen 2x · sen 3x = cos 2x · cos 3x, com 0° ≤ x < 90°, é
- 72°.
- 36°.
- 24°.
- 18°.
- 15°.
Resposta: D
Resolução:
1) sen 2x . sen 3x = cos 2x . cos 3x ⇒
⇒ cos 3x . cos 2x – sen 3x . sen 2x = 0 ⇔
⇔ cos (3x + 2x) = 0 ⇒ cos(5x) = 0 ⇔
⇔ 5x = 90° + k . 180° ⇔ x = 18° + 36°k
2) Para k = 0, tem-se x = 18° ∈ [0°; 90°[
Para k = 1, tem-se x = 54° ∈ [0°; 90°[ (No entanto, 54° também é solução.) Fonte: Objetivo
09. (EEAR) No intervalo [0, π], a soma das raízes da equação 3cos²x - 7sen²x + 2 = 0 é igual a
- 4 π
- 3 π
- 2 π
- π
Resposta: D
Resolução:
10. (Mackenzie) O número de soluções que a equação 4 cos2x − cos 2x + cos x = 2 admite no intervalo [0, 2π] é
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
Resposta: D
Resolução:
A partir da identidade trigonométrica cos2x = 2 cos²x – 1, pode-se reescrever a equação
Fazendo a substituição t = cosx, chega-se a uma equação do 2º grau:
No intervalo [0, 2π], as soluções são
ou seja, 3 soluções no total.
11. (UFG) Considere a equação (esenx)² + 5 e senx – 6 = 0, na variável x. O valor inteiro de x que satisfaz a equação é
- -6
- 0
- 1
- 2
- 3
Resposta: B
Resolução: 0
12. (UECE) As soluções, em R, da equação cox4x – 4cox³x + 6cos²x – 4cosx + 1 = 0 são
- x = 2kπ, onde k é um inteiro qualquer.
- x = (2k + 1) π, onde k é um inteiro qualquer.
- x = kπ, onde k é um inteiro qualquer.
- x = (4k + 1) π, onde k é um inteiro qualquer.
Resposta: A
Resolução: x = (2k + 1) π, onde k é um inteiro qualquer.
13. (UPF) A quantidade de soluções que a equação trigonométrica sen4 x - cos4 x = admite no intervalo [0 , 3𝜋] é:
- 0
- 2
- 4
- 6
- 8
Resposta: D
Resolução: A quantidade de soluções que a equação trigonométrica sen⁴(x) - cos⁴(x) = 1/2 admite no intervalo [0,3π] é 6.
A equação trigonométrica é sen⁴(x) - cos⁴(x) = 1/2 e o intervalo é [0,3π].
Perceba que podemos escrever a equação trigonométrica da seguinte forma:
(sen²(x) + cos²(x))(sen²(x) - cos²(x)) = 1/2.
Da relação fundamental da trigonometria, temos que sen²(x) + cos²(x) = 1. Logo,
sen²(x) - cos²(x) = 1/2.
Multiplicando a equação por -1:
cos²(x) - sen²(x) = -1/2
cos(2x) = -1/2.
Vamos considerar que k = 2x.
Assim, cos(k) = -1/2.
Pelo círculo trigonométrico, temos três valores para k: 2π/3, 4π/3 e 8π/3.
Então,
2x = 2π/3 ∴ x = π/3
2x = 4π/3 ∴ x = 2π/3
2x = 8π/3 ∴ x = 4π/3.
Além disso, teremos: 5π/3, 7π/3 e 8π/3.
14. (IME) O número de soluções da equação cos(8x) = sen(2x) + tg²(x) + cotg²(x) no intervalo [0,2π] é:
- 0
- 1
- 2
- 4
- 8
Resposta: C
Resolução:
15. (UEFS) O número de soluções da equação 3cos²x + tan²x = 3, no intervalo [0, 2π], é
- 1
- 2
- 4
- 6
- 7
Resposta: E
Resolução:
Como |(√3)/3 | ≤1 , existe um arco cujo cosseno dê (√3)/3 , portanto já são 4 soluções.
|cos(0)|=|cos(∏)|=|cos(2∏)|=1 (Três soluções)
No total, então, são 7 soluções.