Produtos Notáveis/Fatoração

Gabarito de Matemática sobre o tema Produtos Notáveis/Fatoração com questões de Vestibulares.


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01. (ESPM) Para que o número 64 800 se torne um cubo perfeito, devemos:

  1. multiplicá-lo por 30.
  2. dividi-lo por 60.
  3. multiplicá-lo por 90.
  4. dividi-lo por 150.
  5. multiplicá-lo por 18.

Resposta: C

Resolução: Cubo perfeito

O cubo perfeito pode ser definido como um número natural inteiro positivo cuja sua raiz cúbica também resulta em um número natural inteiro positivo. Veja os exemplos abaixo:

∛1 = 1, ∛8 = 2, ∛27 = 3, ∛64 = 4, ∛125 = 5, ∛216 = 6, ∛343 = 7, ∛512 = 8, ∛729 = 9, ∛1.000 = 10...

Para obter um cubo perfeito ao realizar a decomposição em fatores primos todos os números devem ter expoentes múltiplos de 3.

Ao fatorar 64.800, tem-se:

64.800 = 5².3⁴.2⁵

Observe que os expoentes de 5, 3 e 2 são respectivamente iguais a 2, 4 e 5 sendo nenhum deles são múltiplo de 3, Para colocar um expoente múltiplo de 3 em cada número iremos usar a propriedade da divisão entre potências de bases iguais.

Divisão de potências de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes - ver abaixo:

aⁿ:aᵇ = aⁿ⁻ᵇ

O menor expoente de 5, 3 e 2 múltiplo de 3 é respectivamente 3, 6 e 6, desse modo, temos:

(5².3⁴.2⁵)/(5⁻¹.3⁻².2⁻¹) = 5²⁻⁽⁻¹⁾.3⁴⁻⁽⁻²⁾.2⁵⁻⁽⁻¹⁾ = 5³.3⁶.2⁶

Desse modo, o denominado da fração é igual a:

5⁻¹.3⁻².2⁻¹ = 1/(5¹.3².2¹) = 1/(5.9.2) = 1/90

Continue estudando mais sobre a potência em:

02. (UECE) Ao fatorarmos o número inteiro positivo n, obtemos a expressão n = 2x .5y , onde x e y são números inteiros positivos. Se n admite exatamente 12 divisores positivos e é menor do que o número 199, então, a soma x+y é igual a

  1. 5.
  2. 6.
  3. 7.
  4. 8.

Resposta: B

Resolução:

Explicação passo-a-passo:

A quantidade de divisores positivos do número n é dado por:

Com efeito, temos que:

Desse modo, temos as seguinte possibilidades:

Todavia, de acordo com o enunciado, n é menor que 199; assim, o único par que satisfaz as condições dadas... qualquer outra valor de x e y não irá satisfazer...

Isto é,

Logo, concluímos que:

03. (UECE) Se ab é um número formado por dois algarismos, seu reverso é o número ba (por exemplo, o reverso de 14 é 41). A soma de todos os números formados por dois algarismos cuja soma com os seus respectivos reversos resulta um quadrado perfeito é

  1. 480.
  2. 482.
  3. 484.
  4. 486.

Resposta: C

Resolução:

04. (UPE) Na sequência de quadros a seguir, o valor da primeira célula de cada quadro é a soma dos valores das duas últimas células do quadro anterior.

Se o número da célula central do último quadro dessa sequência é 22013, quanto vale o produto dos números das duas outras células?

  1. 22013-1
  2. 22013+1
  3. 22013+1
  4. 24026+1
  5. 24026-1

Resposta: E

Resolução:

05. (Fatec) Sabe-se que a2 - 2bc - b2 - c2 = 40 e a - b - c = 10 com a, b e c números reais.

Então o valor de a + b + c é igual a:

  1. 1
  2. 2
  3. 4
  4. 10
  5. 20

Resposta: C

Resolução:

6. (Fatec) Efetuando-se (579865)2 - (579863)2, obtém-se

  1. 4
  2. 2 319 456
  3. 2 319 448
  4. 2 319 448
  5. 2 319 448

Resposta: B

Resolução:

7. (Fatec) O valor da expressão y = (x3-8)/(x2+2x+4), para x = √2, é

  1. (√2) - 2
  2. (√2) + 2
  3. 2
  4. - 0,75
  5. - 4/3

Resposta: A

Resolução:

8. (Ufes) O número N = 20022 × 2000 - 2000 × 19982 é igual a

  1. 2 x 106
  2. 4 x 106
  3. 8 x 106
  4. 16 x 106
  5. 32 x 106

Resposta: E

Resolução:

09. (IMNEC) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença entre dois números reais é igual a:

  1. a diferença dos quadrados dos dois números.
  2. a soma dos quadrados dos dois números.
  3. a diferença dos dois números.
  4. ao dobro do produto dos números.
  5. ao quádruplo do produto dos números.

Resposta: E

Resolução:

10. (UFRGS) Se x + y = 13 e x . y = 1, então x² + y² é

  1. 166
  2. 167
  3. 168
  4. 169
  5. 170

Resposta: B

Resolução:

11. (Fatec) Ao entrar na sua sala de aula, Pedro encontrou as seguintes anotações no quadro:


a + b = 6

a . b = 4

a² + b² = ?


Usando seus conhecimentos sobre produtos notáveis, Pedro determinou corretamente o valor da expressão a2 + b2. Esse valor é:

  1. 26
  2. 28
  3. 32
  4. 36

Resposta: B

Resolução:

12. (UNESP) Dado que a + b = 5 e ab = 2, qual é o valor numérico de a² + b²?

  1. 5
  2. 2
  3. 10
  4. 21
  5. 25

Resposta: D

Resolução:

13. (UNESP) Sejam x e y dois números reais não nulos e distintos entre si. Das alternativas abaixo, a única necessariamente verdadeira é:

  1. −x < y
  2. x < x + y
  3. y < xy
  4. x² ≠ y²
  5. x² − 2xy + y² > 0

Resposta: E

Resolução: Falsa, contra-exemplo: x = - 2 , y =1

b) falsa, contra-exemplo: x = 2, y = -1

c) falsa, contra-exemplo: x = 1 , y = 2

d) falsa, contra-exemplo: x = 1 , y = -1

e) verdadeira: x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 > 0 sempre que x != y

14. (Fuvest) A diferença entre os quadrados da soma de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é:

  1. 29
  2. 97
  3. 132
  4. 184
  5. 252

Resposta: A

Resolução:

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