Matrizes

Gabarito de Matemática sobre o tema Matrizes com questões de Vestibulares.


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1. (UEL-PR) Sabendo-se que a matriz

é igual à sua transposta, o valor de x + 2y é:

  1. -20
  2. -1
  3. 1
  4. 13
  5. 20

Resposta: B

Resolução: A matriz original é

5 x² 2-y

49 y 3x

-1 -21 0

Sua transposta será ela mesma com os elementos "espelhados" em relação à diagonal principal:

5 49 -1

x² y -21

2-y 3x 0

Como uma é igual à outra, podemos igualar os elementos que estão na mesma posição (mesma linha e coluna).

Assim:

x² = 49

3x = -21

2 - y = -1

As soluções da primeira equação são x = ±√49, isto é, ±7.

Porém, a segunda equação diz que x = -21 ÷ 3, que é igual -7, então este é o único valor de x.

A última equação diz que -y = -1 - 2 = -3, isto é, y = 3.

Então, o valor de x + 2y é -7 + 2×3 = -7 + 6, que é igual a -1.

2. (UDESC) Sendo a matriz

igual à matriz identidade de ordem 2, o valor de 2.x é:

  1. – 4
  2. 6
  3. 4
  4. 8
  5. – 8

Resposta: D

Resolução:

3. (Unicamp) Sejam a e b números reais tais que a matriz A satisfaz a equação A2= aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

  1. −2.
  2. −1.
  3. 1.
  4. 2.

Resposta: A

Resolução:

4. (Unesp) Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que:

  1. B – I ≠ O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n.
  2. B seja invertível.
  3. B ≠ O, onde O é a matriz nula de ordem n.
  4. B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.
  5. A e C sejam invertíveis.

Resposta: D

Resolução: Resolvendo a equação matricial dada, temos:

A+BX = X + 2C

BX – X = 2C – A

(B – I)X = 2C – A

Sendo I a matriz identidade de ordem n.

Para que a equação tenha uma única solução, (B - I) deve ser inversível, ou seja, det(B – I) ≠ 0.

Desta forma, sua solução será

(B – I)-1(B – I)X = (B – I)-1(2C - A).

X = (B – I)-1(2C - A)

5. (UFPR) Dados os números reais a, b e c diferentes de zero e a matriz quadrada de ordem 2

considere as seguintes afirmativas a respeito de M:

1. A matriz M é invertível.

2. Denotando a matriz transposta de M por MT, teremos det(M.MT) > 0.

3. Quando a = 1 e c = −1 , tem-se M² = I, sendo I a matriz identidade de ordem 2.

Assinale a alternativa correta.

  1. Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
  2. Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
  3. Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  4. Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  5. As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

Resposta: E

Resolução: 1. A matriz M é invertível.

>> Uma matriz é invertível se for quadrada e seu determinante for diferente de zero.

A matriz da questão é quadrada. Agora, precisamos saber o valor de seu determinante.

D = a.c - (b.0)

D = a.c

Como o enunciado fala que a, b e c são diferentes de zero, então:

D ≠ 0

VERDADEIRO (a matriz é invertível)

2. Denotando a matriz transposta de M por MT, teremos det(M.MT) > 0

>> O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

det(Mt) = det(M)

det(Mt) = a.c

det(M.MT) = det(M).det(Mt)

det(M.MT) = (a.c).(a.c)

det(M.MT) = (a.c)²

a e c são diferentes de zero, e como seus valores estão elevados ao quadrado, mesmo se forem negativos, o determinante terá valor positivo. Ou seja, maior que zero.

det(M.MT) > 0

VERDADEIRO

3. Quando a = 1 e c = −1 , tem-se M² = I , sendo I a matriz identidade de ordem.

>> Calcularemos M².

M² = M.M

VERDADEIRO (é matriz identidade)

6. (Unicamp) Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a:

  1. 12.
  2. 15.
  3. 16.
  4. 20.

Resposta: A

Resolução:

7. (Unicamp) Considere a matriz quadrada de ordem 3,

onde x é um número real.

Podemos afirmar que:

  1. A não é invertível para nenhum valor de x .
  2. A é invertível para um único valor de x .
  3. A é invertível para exatamente dois valores de x .
  4. A é invertível para todos os valores de x .

Resposta: D

Resolução:

8. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:

  1. existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
  2. existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
  3. existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
  4. existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
  5. existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

Resposta: C

Resolução: A(3,4) e B(n, m)

Só pode haver soma A + B ou B + A se n = 3 e m = 4 isto é, devem se matrizes com mesmo número de linhas e colunas.

Só pode haver A*B se n = 4 e só pode haver B*A se m = 3, isto é o número de linhas da 2ª deve ser igual ao de colunas da 1ª

9. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:

  1. (A = B) . C = A . C + B . C
  2. (A + B)t = At + Bt
  3. (A . B)t = At . Bt
  4. (A – B)C = AC – BC
  5. (At)t = A

Resposta: C

Resolução: Assim como a matriz inversa, a matriz transposta segue a regra:

(AB)t = BtAt

Ou seja, a transposta do produto é o produto das traspostas na ordem inversa.

Assim, a alternativa que contradiz isso é a falsa.

10. (UFU) Considere a matriz:

Então A4 + 2A3 + 4A2 + 8A é igual a:

  1. A6
  2. A8
  3. A10
  4. A5

Resposta: A

Resolução:

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