Plano de Argand-Gauss (plano complexo)

01. (UEFS) Os números complexos z e w têm módulos |z| = |w| = 1.

Se z, w e seu produto zw formam, no plano de Argand-Gauss, os vértices de um triângulo equilátero, é correto afirmar que

1. z é real.
2. w = ± 1 ou w = ± i.
3. zw é um imaginário puro.
4. a parte real de w é positiva.
5. z e w são complexos conjugados.

02. (EsPCEx) Sejam z e v números complexos onde |z|=1 e v tem coordenadas no plano de Argand-Gauss $(\frac{\mathrm{\surd 2}}{2},\frac{\mathrm{\surd 2}}{2})$. Sobre o número complexo z e v (resultante da multiplicação dos complexos z e v), podemos afirmar que

1. sempre é um número real.
2. sempre tem módulo igual a 2.
3. sempre é um número imaginário puro.
4. pertence à circunferência x² + y² = 1
5. sempre tem argumento igual a π/4

03. (UEFS) As soluções da equação x² + bx + c = 0 são números complexos distintos que, no plano de Argand-Gauss, estão na circunferência de raio 2 centrada na origem.

Portanto, as constantes reais b e c são tais que

1. b = 4 e −2 ≤ c ≤ 2.
2. − 4 ≤ b ≤ 4 e c = 2.
3. − 4 < b < 4 e c=4.
4. − 2 ≤ b ≤ 2 e c=4.
5. − 2 < b < 2 e − 4 < c < 4.

04. (AFA) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z = x + yi, onde i = √-1 e cujos afixos são os pontos P(x,y )∈ IR²

Dada a equação (z − 1 + i)⁴ = 1, sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que

1. apenas um deles é imaginário puro.
2. todos podem ser escritos na forma trigonométrica.
3. o conjugado do que possui maior argumento é 1+ 2i
4. nem todos são números imaginários.

05. (UEFS) No plano de Argand-Gauss, um número complexo z = x + iy, com x > 0 e y > 0, o seu conjugado e a origem dos eixos coordenados são os vértices de um triângulo equilátero.

Se |z − z| = 2, então z⁵ + 16z é igual a

1. 2√3 - i
2. 16(√3 + i)
3. 2(1 + √3i
4. 8
5. 0

06. (EEAR) Se i é a unidade imaginária, então 2i³ + 3i² + 3i + 2 é um número complexo que pode ser representado no plano de Argand- Gauss no ___________ quadrante.

1. primeiro
2. segundo
3. terceiro
4. quarto

07. (EsPCEx) A representação geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a condição | z + 2 -3i | = | z - 1 + 4i | , com z = x + yi, sendo x e y números reais, é reta de equação

1. 2x-3y+7=0.
2. 3x-7y-2=0.
3. 2x-3y+3=0.
4. 4x-3y+3=0.
5. 2x-y=0.

08. (PUC-RS) Os vértices A, B e C de um triângulo são as imagens, no plano de Argand-Gauss, dos números complexos -√3 + i, √3 + i e - 2i respectivamente. Então, o valor do perímetro desse triângulo é

1. 2√3
2. 4√3
3. 6√3
4. 12
5. 24

09. (UEFS) Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi o matemático com maior destaque no século XIX. Dentre inúmeras contribuições de Gauss à Matemática, ele é considerado um dos primeiros matemáticos a associar números complexos a pares ordenados de números reais. (RIBEIRO, 2010. p. 278).

Três números complexos z1, z2 e z3 são tais que |z1 – z2| = 7, |z2 – z3| = 8 e |z3 – z1| = 9.

Sendo A, B e C os afixos desses números, no plano de Argand-Gauss, pode-se afirmar que a edida, em u.c. do raio da circunferência inscrita no triângulo ABC, é igual a

1. 2√5
2. 2√3
3. √5
4. √3
5. √2

10. (ITA) Sabe-se que -2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo . Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de , é igual a

1. 4(√3 + 1)
2. 6√3
3. 8(√3 - 1)
4. 10√3
5. 12√3

11. (PUC-RS) Foi construído, no plano de Argand Gauss, um polígono cujos vértices estão sobre as raízes do polinômio p(z) = z⁴ – 16 em ℂ. A área desse polígono, em unidades de área, é

1. 64
2. 32
3. 16
4. 8
5. 4

12. (AFA) Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B , sendo A = x − 2i, x ∈ IR e B = 1 + i

Se no produto A ⋅ B tem-se Re(A ⋅ B) ≥ Im(A ⋅ B), então, sobre todos os números complexos A, é correto afirmar que

1. seus afixos formam uma reta.
2. nenhum deles é imaginário puro.
3. o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal.
4. existe A tal que |A| = |B|

13. (PUC-RS) A área da figura representada no plano de Argand Gauss pelo conjunto de pontos { z ∈ C : | z | ≤ 1 } é

1. 1/2
2. 1
3. π/2
4. π
5. 2π

14. (PUC-RS) A superfície e os parafusos de afinação de um tímpano da Orquestra da PUCRS estão representados no plano complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, centrado na origem, e por oito pontos uniformemente distribuídos, respectivamente, como mostra a figura:

Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam os lugares dos números complexos z que satisfazem a equação:

1. z⁸ = i
2. z⁸ = –i
3. z⁸ = 1
4. z⁸ = –1
5. z⁸ = 1 + i

15. (FGV-SP) No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado ABCD e os afixos dos números complexos Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, e Z5

Se o afixo do produto de Z0 por um dos outros cinco números complexos indicados é o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é

1. Z1 .
2. Z2 .
3. Z3 .
4. Z4 .
5. Z5.

16. (UFSM) Uma das bibliotecas mais lindas do mundo, o Real Gabinete Português de Leitura, situa-se no Rio de Janeiro. Foi fundada pela princesa Isabel em 1887 e conta com um acervo de cerca de 350000 exemplares, dentre os quais muitas obras raras. Na claraboia da entrada, encontra-se um enorme candelabro. A fotografia a seguir mostra uma vista do candelabro.

Suponha que o candelabro tenha o formato circular de 2 metros de diâmetro com lâmpadas igualmente distribuídas nas posições Z1,Z2, •••,Z8 conforme a figura a seguir.

Além disso, se Z1,Z2, •••,Z8 representam números, complexos no plano de Argand-Gauss, então o produto de Z2 como conjugado de Z6 é

1. ‒ 4
2. ‒ 1
3. ‒ 4i
4. ‒ i
5. i

17. (EsPCEx) Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A=(1,0).

O polígono regular cujos vértices são os afixos de ⁴√E é

1. BEHK.
2. CFIL.
3. ADGJ.
4. BDHJ.
5. CEIK.

18. (FGV) Observe o plano Argand-Gauss a seguir:

Elevando-se a 2015 o número complexo indicado nesse plano Argand-Gauss, o afixo do número obtido será um ponto desse plano com coordenadas idênticas e iguais a

1. 2²⁰¹⁵
2. 2¹⁰⁰⁷
3. 1
4. 2^–2015
5. –2¹⁰⁰⁷

19. (AFA) Considere no plano de Argand Gauss os números complexos z = A(cosα + i senα) e w = B(cosβ + i senβ) conforme gráfico abaixo.

Se w = z⁴ então B é igual a

1. 12
2. 12√3
3. 144
4. 144√3

20. (UEL) Leia o texto a seguir.

Na virada do século XVIII para o século XIX, um agrimensor norueguês, Wessel (1798), e um desconhecido matemático suíço, Argand (1806), foram, aparentemente, os primeiros a compreender que os números complexos não têmnadade“irreal”. Sãoapenasospontos(ou vetores) do plano que se somam através da composição de translações e que se multiplicam através da composição de rotações e dilatações (na nomenclatura atual). Mas essas iniciativasnãotiveramrepercussãoenquantonão foram redescobertas e apadrinhadas, quase simultaneamente, por Gauss, grande autoridade daquele tempo que, já em vida, era reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

(Adaptado de: CARNEIRO, J. P. A Geometria e o Ensino dos Números Complexos. Revista do Professor de Matemática. 2004. v.55. p.18.)

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma composição de rotação dos pontos P(−3, 4) e Q(2,−3) representados pelos números complexos z = −3 + 4i e w = 2 − 3i.

1. −18 + 17i
2. −6 − 12i
3. −1 + i
4. 5 + 7i
5. 6 + 17i