Sequências

1. (ITA 2019) Considere as seguintes afirmações:

É(são) VERDADEIRA(S)

1. apenas I.
2. apenas I e II.
3. apenas I e III.
4. apenas II e III.
5. todas.

2. (ITA 2018) Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ e o termo independente de

é igual a 7920, então a + b é

1. 2.
2. 3.
3. 4.
4. 5.
5. 6.

3. (IME 2011) São dados os pontos P0 e P1 distantes 1 cm entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos Pn, para todo n inteiro maior do que um, de forma que:

• o segmento P_n P_{(n - 1)} é 1 cm maior do que o segmento P_{(n – 1)} P_{(n – 2)}; e

• o segmento Pn P_{(n - 1)} é perpendicular a P0P_{(n – 1)}

Determine o comprimento do segmento P₀ P₂₄.

1. 48
2. 60
3. 70
4. 80
5. 90

4. (ITA 2018) Uma progressão aritmética (a1, a2, . . ., an) satisfaz a propriedade: para cada n ∈ N, a soma da progressão é igual a 2n2 + 5n. Nessas condições, o determinante da matriz

1. −96.
2. −85.
3. 63.
4. 99.
5. 115.

5. (ITA 2017) Sejam a, b, c, d ∈ R. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d−140 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d − b é

1. −140.
2. −120.
3. 0.
4. 120.
5. 140.

6. (IME 2016) Sejam uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, ...) e uma progressão geométrica (b1, b2, b3, b4, …) de termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, com q > 2 e b1 > 0. Sabe-se, também, que a1+b2=3, a4+b3=26. O valor de b1 é:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

7. (ITA 2015) Seja (a₁, a₂, a₃, . . .) a sequência definida da seguinte forma: a₁ = 1, a₂ = 1 e an = an−1 + an−2 para n ≥ 3. Considere as afirmações a seguir:

I. Existem três termos consecutivos, a_p, a_p+1, a_p+2, que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.

II. a₇ é um número primo.

III. Se n é múltiplo de 3, então a_n é par.

É (são) verdadeira(s)

1. apenas II.
2. apenas I e II.
3. apenas I e III.
4. apenas II e III.
5. I, II e III.

8. (IME 2014) A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1. Determine a razão da primeira progressão aritmética.

1. 7
2. 8
3. 9
4. 10
5. 11

9. (IME 2013) Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus quadrados é S2. Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação x² − S1x + (S2 - 1/2) = 0. A razão desta PA é

1. 1/6
2. √6/6
3. √6
4. √6/3
5. 1

10. (ITA 2013) Considere a equação em que a soma das raízes é igual a −2 e os coeficientes a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a0 = 1. Então é igual a

1. -21
2. $-\frac{2}{3}$
3. $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{32}}$
4. $\frac{\mathrm{63}}{\mathrm{32}}$
5. 63

11. (IME 2012) Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica com razão r e q, respectivamente, onde r e q são números inteiros. O número 3 e o número 192 participam destas duas progressões. Sabe-se que o terceiro termo de ${(1+\frac{1}{q})}^8$, em potências crescentes de $\frac{1}{q}$, é $\frac{r}{\mathrm{9q}}$. O segundo termo da progressão aritmética é

1. 12
2. 48
3. 66
4. 99
5. 129