Números Complexos

1. (ITA 2019) Sabe-se que -2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a

1. 4 (√3 + 1)
2. 6√3
3. 8 (√3 - 1)
4. 10√3
5. 12√3

2. (ITA 2018) As raízes do polinômio 1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ + z⁷ , quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja área é

1. $\frac{\mathrm{\surd 2-1}}{2}$
2. $\frac{\mathrm{\surd 2+1}}{2}$
3. √2
4. $\frac{\mathrm{3\surd 2+1}}{}$
5. 3√2

3. (ITA 2017) O lugar geométrico dos pontos (a, b) ∈ R² tais que a equação, em z ∈ C,

z² + z + 2 − (a + ib) = 0

possua uma raiz puramente imaginária é

1. uma circunferência.
2. uma parábola.
3. uma hipérbole.
4. uma reta.
5. duas retas paralelas.

4. (IME 2016) Sejam Z₁ e Z₂ números complexos tais que Z₂ é imaginário puro e |Z₁ − Z₂|=| Z₂| . Para quaisquer valores de Z₁ e Z₂ que atendam a essas condições tem-se que:

1. Im(Z₂) > 0
2. Im(Z₂) ≤ 0
3. Z1| ≤ 2 | Z₂|
4. Re(Z₁) ≥ 0
5. Re(Z₁) ≤ Im(Z₂)

5. (ITA 2016) Considere as afirmações a seguir:

I. Se z e w são números complexos tais que z−iw = 1−2i e w−z = 2+3i, então z²+w² = −3+6i.

II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 2|z|² + z² = 4 + 2i é igual a zero.

III. Se z = 1 − i, então z⁵⁹ = 2²⁹(−1 + i).

É (são) verdadeira(s)

1. apenas I.
2. apenas I e II.
3. apenas I e III.
4. apenas II e III.
5. I, II e III.

6. (ITA 2016) Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por

p(z) = z⁴ + (2 + i)z³ + (2 + i)z² + (2 + i)z + (1 + i).

Podemos afirmar que

1. nenhuma das raízes de p é real.
2. não existem raízes de p que sejam complexas conjugadas
3. a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 + √2
4. o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2√2
5. o módulo de uma das raízes de p é igual a √2

7. (ITA 2015) Se Z = ${\left(\frac{1+\sqrt{3i}}{1-\sqrt{3}i}\right)}^{10}$, então o valor de

2 arcsen (Re(z)) + 5 arctg(2 Im(z)) é igual a

1. - $\frac{\mathrm{2\surd }}{3}$
2. - $\frac{\surd }{3}$
3. $\frac{\mathrm{2\surd }}{3}$
4. $\frac{\mathrm{4\surd }}{3}$
5. $\frac{\mathrm{5\surd }}{3}$

8. (ITA 2014) Se z ∈ C, então z⁶ − 3 |z|⁴ (z² − z² )−z⁶ é igual a

1. (z² − z²)³.
2. z⁶ − z⁶.
3. (z³ − z³)².
4. (z − z)⁶.
5. (z − z )²(z⁴ − z⁴).

9. (IME 2013) Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade |z - 26i| ≤ 10, sejam a1 e a2 os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de |a1− a2| é

1. π - tan^-1 ($\frac{5}{\mathrm{12}}$)
2. 2.tan^-1 ($\frac{5}{\mathrm{13}}$)
3. tan^-1 ($\frac{5}{\mathrm{13}}$)
4. 2.tan^-1($\frac{5}{\mathrm{12}}$)
5. 2.tan^-1($\frac{\mathrm{12}}{5}$)

10. (ITA 2013) Considere a equação em C, (z − 5 + 3 i)⁴ = 1. Se z0 é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o valor de |z0| é

1. √29
2. √41
3. 3√5
4. 4√3
5. 3√6

11. (IME 2012) Seja o número complexo z = $\frac{\alpha }{\mathrm{ib(1+ib)²}}$, onde a e b são números reais positivos e i = √1. Sabendo que o módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e (–π) rd, o valor de a é

1. 1/4
2. 1/2
3. 0
4. 2
5. 4