Geometria Plana

1. (ITA 2018) Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB = 3cm, BC = 7cm e CA = 8cm. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K.

Então, o comprimento do segmento NK , em cm é:

1. 2
2. $2\sqrt{2}$
3. 3
4. $2\sqrt{3}$
5. $\frac{7}{2}$

2. (ITA) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2 cm. Sejam α e β, respectivamente , os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm²) igual a

1. 2sen²α cotg β + sen 2α
2. 2sen²α tg β - sen 2α
3. 2cos²α cotg β + sen 2α
4. 2cos²α tg β + sen 2α
5. 2sen²α tg β - cos 2α

3. (ITA 2018) Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendiculares. Com relação às circunferências C₁ : x² + (y + 4)² = 7, C₂ : x² + y² = 9 e C₃ : (x − 5)² + y² = 16, podemos afirmar que

1. somente C₁ e C₂ são ortogonais.
2. somente C₁ e C₃ são ortogonais.
3. C₂ é ortogonal a C₁ e a C₃.
4. C₁, C₂ e C₃ são ortogonais duas a duas.
5. não há ortogonalidade entre as circunferências.

4. (ITA) Considere (P) um polígono regular de n lados. Suponha que os vértices de (P) determinam 2n triângulos, cujos lados não são lados de (P). O valor de n é:

1. 6
2. 8
3. 10
4. 20
5. não existe um polígono regular com esta propriedade.

5. (ITA 2018) Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13 pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n. Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11. Então, os valores de n e m são, respectivamente,

1. 2 e 11
2. 3 e 10
3. 4 e 9
4. 5 e 8
5. 6 e 7

6. (ITA) Os lados de dois octógonos regulares têm, respectivamente, 5 cm e 12 cm. O comprimento do lado de um terceiro octógono regular, de área igual à soma das áreas dos outros dois, é: a

1. 17 cm
2. 15 cm
3. 14 cm
4. 13 cm
5. N.D.R.A.

7. (ITA 2018) Em um triângulo de vértices A, B e C são dados $\stackrel{\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->}{B}$ = π/2, $\stackrel{\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->}{C}$ = π/3 e o lado BC = 1 cm. Se o lado $\stackrel{\_}{AB}$ é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em cm², é

1. $\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{16}$
2. $\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}$
3. $\frac{5\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{4}$
4. $\frac{5\sqrt{3}}{16}-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{8}$
5. $\frac{5\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{16}$

8. (ITA) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações 3a = 7c e 3b = 8c.

1. 30
2. 60º
3. 45º
4. 120
5. 135º

9. (ITA 2018) Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum $\stackrel{\_}{AB}$. Seja M o ponto médio de $\stackrel{\_}{AB}$ e N o ponto médio de $\stackrel{\_}{CD}$. Se MN = CN = 2 cm, então a altura relativa ao lado $\stackrel{\_}{CD}$ do triângulo ACD mede, em cm,

1. $\frac{\sqrt{60}}{3}$
2. $\frac{\sqrt{50}}{3}$
3. $\frac{\sqrt{40}}{3}$
4. $\frac{\sqrt{30}}{3}$
5. $\frac{2\sqrt{6}}{3}$