Geometria Analítica

1. (ITA 2019) Seja a circunferência de equação x2 + y2 = 4. Se r e s são duas retas que se interceptam no ponto P = (1,3) e são tangentes a , então o cosseno do ângulo entre r e s é igual a

1. $\frac{1}{5}.$
2. $\frac{\sqrt{7}}{7}.$
3. $\frac{1}{2}.$
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$
5. $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

2. (ITA 2018) Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13 pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n. Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11.

Então, os valores de n e m são, respectivamente,

1. 2 e 11.
2. 3 e 10.
3. 4 e 9.
4. 5 e 8.
5. 6 e 7.

3. (ITA 2018) Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendiculares. Com relação às circunferências C1: x² + (y + 4)² = 7, C2: x² + y² = 9 e C3: (x − 5)² + y² = 16, podemos afirmar que

1. somente C1 e C2 são ortogonais.
2. somente C1 e C3 são ortogonais.
3. C2 é ortogonal a C1 e a C3.
4. C1, C2 e C3 são ortogonais duas a duas.
5. não há ortogonalidade entre as circunferências.

04. (IME 2018) Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 450 no sentido anti-horário em torno da origem.

A equação dessa hipérbole após a rotação é:

1. xy = 2
2. x² + xy − y² = 4
3. x² − y² = 2
4. xy = −2
5. x² − y² = −2

Resolução:

05. (IME 2018) Considere as afirmações abaixo:

I) se três pontos são colineares, então eles são coplanares;

II) se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;

III) se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos;

IV) duas retas não paralelas determinam um plano;

V) se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.

Entre essas afirmações:

1. apenas uma é verdadeira;
2. apenas duas são verdadeiras;
3. apenas três são verdadeiras;
4. apenas quatro são verdadeiras;
5. todas são verdadeiras.

06. (IME 2017) Seja uma elipse com focos no eixo OX e centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20/3. Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse.

As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY, na origem, têm as seguintes equações:

1. y² = ±2 $\frac{\sqrt{35}}{7}x$
2. y² = ±4 $\frac{\sqrt{5}}{7}x$
3. y² = ±6 $\frac{\sqrt{5}}{7}x$
4. y² = ±6 $\frac{\sqrt{35}}{7}x$
5. y² = ±8 $\frac{\sqrt{35}}{63}x$

7. (ITA 2017) Considere a reta r: y = 2x. Seja A = (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é

1. $\frac{9}{5}$
2. $\frac{12}{5}$
3. $\frac{18}{5}$
4. $\frac{21}{5}$
5. $\frac{24}{5}$

8. (ITA 2017) Considere dois círculos no primeiro quadrante:

• C1 com centro (x1, y1), raio r1 e área $\frac{\mathrm{\pi }}{16}$

• C2 com centro (x2, y2), raio r2 e área 144π.

Sabendo que (x1, y1, r1) e (x2, y2, r2) são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a $\frac{7}{4}$ e 21, respectivamente, então a distância entre os centros de C1 e C2 é igual a

1. $\frac{\mathrm{\surd 123}}{2}$
2. $\frac{\mathrm{\surd 129}}{2}$
3. $\frac{\mathrm{\surd 131}}{2}$
4. $\frac{\mathrm{\surd 135}}{2}$
5. $\frac{\mathrm{\surd 137}}{2}$

9. (ITA 2016) Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x² + y² = 4 e à reta y = 2(1 − x), então o valor do cosseno do ângulo PÔQ é igual a

1. $-\frac{3}{5}$
2. $-\frac{3}{7}$
3. $-\frac{2}{5}$
4. $-\frac{4}{5}$
5. $-\frac{1}{7}$

10. (ITA 2016) Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são (0, 1), (2, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões de mesma área, então o valor de a é igual a

1. 2√5 −1.
2. 2√6 −1.
3. 3 √5 −4.
4. 2 √7 -2.
5. 3 √7 -5.

11. (IME 2016) Sejam os pontos A(0,0), B(-1,1), C(1,2), D(4,1) e E(3, 12). A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono ABCDE em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta que liga C e D.

1. $\frac{25}{7}$
2. $\frac{51}{14}$
3. $\frac{26}{7}$
4. $\frac{53}{14}$
5. $\frac{27}{7}$

12. (IME 2015) O lugar geométrico dos pontos em ℝ² equidistantes às retas de equações 4x + 3y – 2 = 0 e 12x – 16 y + 5 = 0 é

1. 4x + 28 y + 13 = 0
2. 8x – 7y – 13 = 0
3. 28 x – 4y – 3 = 0
4. 56x² + 388xy – 184x – 56y² – 16y + 19 =0
5. 112x² + 768xy – 376x – 112y² – 32y + 39 =0

13. (ITA 2015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r: 3x + 4y − 4 = 0 e s: 3x + 4y − 19 = 0. A área do círculo determinado por C é igual a

1. $\frac{\mathrm{5\pi }}{7}$
2. $\frac{\mathrm{4\pi }}{5}$
3. $\frac{\mathrm{3\pi }}{2}$
4. $\frac{\mathrm{8\pi }}{3}$
5. $\frac{\mathrm{9\pi }}{4}$

14. (ITA 2015) Considere os pontos A = (0, −1), B = (0, 5) e a reta r : 2x − 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir:

I. d(A, r) = d(B, r).

II. B é simétrico de A em relação à reta r.

III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C = (−3 √3, 2) ou C = (3 √3, 2).

É (são) verdadeira(s) apenas

1. I
2. II
3. I e II
4. I e III
5. II e III

15. (ITA 2015) Considere as afirmações a seguir:

I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB, com comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência.

II. O lugar geométrico dos pontos (x, y) tais que 6x³ + x² y − xy² − 4x 2 − 2xy = 0 é um conjunto finito no plano cartesiano R².

III. Os pontos (2, 3), (4, −1) e (3, 1) pertencem a uma circunferência.

Destas, é (são) verdadeira(s)

1. apenas I.
2. apenas II.
3. apenas III.
4. I e II.
5. I e III.

16. (ITA 2015) Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x−y = 0. Sabendo-se que a potência do ponto O = (0, 0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a

1. (2, 2√2 − 2) e 2√2 − 2.
2. $(2,\frac{\mathrm{\surd 2}}{2}-\frac{1}{2})$ $e\frac{\mathrm{\surd 2}}{2}-\frac{1}{2}$
3. (2, √2 − 1) e √2 − 1.
4. (2, 2 − √2) e 2 − √2.
5. (2, 4√2 − 4) e 4√2 − 4.

17. (ITA 2014) A equação do círculo localizado no 1° quadrante que tem área igual a 4 π (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r: 2x − 2y + 5 = 0 e s: x + y − 4 = 0 é

1. ${(x-\frac{3}{4})}^2+$ ${(y-\frac{10}{4})}^2=4$
2. ${(x-\frac{3}{4})}^2+$ ${(y-(2\sqrt{2}+\frac{3}{4}))}^2=4$
3. ${(x-(2\sqrt{2}+\frac{3}{4}))}^2+$ ${(y-\frac{10}{4})}^2=4$
4. ${(x-(2\sqrt{2}+\frac{3}{4}))}^2+$ ${(y-\frac{13}{4})}^2=4$
5. ${(x-(2\sqrt{2}+\frac{3}{4}))}^2+$ ${(y-\frac{11}{4})}^2=4$

18. (IME 2014)

A figura acima representa uma lâmina de espessura e densidade constantes na forma de um semicírculo de raio a. A lâmina está suspensa por um fio no ponto A e o seu centro de massa está a uma distância de $\frac{\mathrm{4\alpha }}{\mathrm{3\pi }}$ da reta que contém o segmento DB. Uma das metades da lâmina é retirada após um corte feito ao longo do segmento AC. Para a metade que permanece suspensa pelo ponto A nessa nova situação de equilíbrio, a tangente do ângulo que a direção do segmento de reta AC passa a fazer com a vertical é

1. $\frac{3}{\mathrm{4\pi \; -\; 3}}$
2. $\frac{\mathrm{4\pi }}{\mathrm{3\pi \; -\; 4}}$
3. $\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{\pi \; -\; 3}}$
4. $\frac{4}{\mathrm{3\pi \; -\; 4}}$
5. $\frac{4}{\mathrm{4\; -\; \pi }}$

19. (IME 2014) Sejam r a circunferência que passa pelos pontos (6,7), (4,1) e (8,5) e t a reta tangente à r, que passa por (0,-1) e o ponto de tangência tem ordenada 5. A menor distância do ponto P (-1,4) à reta t é:

1. 3√2
2. 4
3. 2√3
4. 3
5. 4√10/5

20. (IME 2014) Uma partícula eletricamente carregada está presa a um carrinho que se move com velocidade de módulo constante por uma trajetória no plano XY definida pela parábola

y = x² - 9x + 3

Sabe-se que, em XY, um campo magnético uniforme paralelo ao vetor (3B, B) provoca força sobre a partícula. O ponto onde a partícula é submetida ao maior módulo de força magnética é

1. (–6, 93)
2. (–3, 39)
3. (1, –5)
4. (2, –2)
5. (3, –15)

21. (IME 2013) Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a √3 e excentricidade igual a $\frac{\mathrm{\surd 3}}{2}$, Considere que os pontos A, B, C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações y = x e y = −x. A área do quadrilátero ABCD é

1. 8
2. 16
3. 16/3
4. 16/5
5. 16/7

22. (ITA 2013) Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o ângulo ABC seja obtuso. Então o ângulo CAB é igual a

1. $\frac{1}{2}\mathrm{ABC}$
2. $\frac{3}{2}\mathrm{\pi \; -\; 2\; ABC}$
3. $\frac{2}{3}\mathrm{ABC}$
4. 2 ABC - π
5. ABC - $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

23. (ITA 2013) Sobre a parábola definida pela equação x² + 2xy +y² −2x+ 4y + 1 = 0 pode-se afirmar que

1. ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
2. ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.
3. ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.
4. a abscissa do vértice da parábola é x = −1.
5. a abscissa do vértice da parábola é x = $\frac{2}{3}$

24. (ITA 2013) Das afirmações:

I. Duas retas coplanares são concorrentes;

II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas;

III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas;

IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo,

é (são) verdadeira(s) apenas

1. III.
2. I e III.
3. II e III.
4. III e IV.
5. I e II e IV.

25. (ITA 2012) A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r: x − 3y + 3 = 0 e s: 3x + y − 21 = 0, em unidades de área, é igual a

1. $\frac{19}{2}$
2. 10
3. $\frac{25}{2}$
4. $\frac{27}{2}$
5. $\frac{29}{2}$

26. (ITA 2012) Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é um par de retas definidas por

1. r1,2: √2y − x ± 2 $\sqrt{4+\sqrt{2}}=0$
2. r1,2: $\frac{\mathrm{\surd 2}}{2}$ y − x ± 2 $\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{2}}=0$
3. r1,2: 2y − x ± 2 $\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{2}}=0$
4. r1,2: (√ 2 + 1)y − x ± $\sqrt{2+4\sqrt{2}}=0$
5. r1,2: (√2 + 1)y − x ± 2 $\sqrt{4+2\sqrt{2}}=0$

27. (IME 2012) Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é

1. 49x² + 9y² – 280x + 120y – 441 = 0
2. 49x² – 406x – 49y² + 441 = 0
3. 9x² + 49y² – 441 = 0
4. 9x² + 9y² + 120y – 441 = 0
5. 9x² – 49y² – 441 = 0

28. (IME 2011) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da figura ABHFG. Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH.

1. 48x² + 36y² –√2 m² = 0
2. 8x² + 16y² – 3m² = 0
3. 16x² + 48y² – 3m² = 0
4. 8x² + 24y² – m² = 0
5. 16x² – 24y² – m² = 0

29. (IME 2011) A equação da reta tangente à curva de equação x² + 4y² – 100 = 0 no ponto P(8,3) é:

1. 2x + 3y – 25 = 0
2. x + y – 11 = 0
3. 3x – 2y – 18 = 0
4. x + 2y – 14 = 0
5. 3x + 2y – 30 = 0

30. (ITA 2010) Considere as circunferências C₁: (x4)2+(y3)² = 4 e C ₂: (x10)² + (y11)² = 9: Seja r uma reta tangente interna a C₁ e C ₂; isto é, r tangencia C₁ e C ₂ e intercepta o segmento de reta O₁O₂ definido pelos centros O₁ de C₁ e O ₂ de C ₂, Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede

1. 5√3
2. 4√5
3. 3√6
4. $\frac{\mathrm{25}}{3}$
5. 9

31. (ITA 2010) Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A; B e C do plano xOy; sendo B = (2; 1) e C = (5; 5): Das seguintes afirmações:

I. A se encontra sobre a reta y = - $\frac{3}{4}x+\frac{11}{2}$

II. A está na interseção da reta y = - $\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}$ com a circunferência (x - 2)² + (y - 1)² = 25,

III. A pertence as circunferências (x - 5)² + (y - 5)² = 25 e (x - $\frac{7}{2}$ )² + (y - 3)² = $\frac{75}{4}$

1. I
2. II
3. III
4. I e II
5. II e III

32. (ITA 2009) A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação 2x² - 4x - 4y + 3 = 0 é igual a

1. 2
2. $\frac{3}{2}$
3. 1
4. $\frac{3}{4}$
5. $\frac{1}{2}$

33. (ITA 2008) Dada a cônica λ: x² - y² = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à λ no ponto P = (2, √3) ?

1. y = √3 (x - 1)
2. y = $\frac{\mathrm{\surd 3}}{2}$ x
3. y = $\frac{\mathrm{-\surd 3}}{3}$ (x - 1)
4. y = $\frac{\mathrm{-\surd 3}}{5}$ (x - 7)
5. y = $\frac{\mathrm{-\surd 3}}{2}$ (x - 4)

34. (ITA 2008) Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 5 cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm² e cm, do triângulo equilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são igual a

1. 175 $\frac{\mathrm{\surd 3}}{3}$ e 5√21
2. 175 $\frac{\mathrm{\surd 3}}{3}$ e 10√21
3. 175√3 e 10√21
4. 175√3 e 5√21
5. 700 e 10√21