Equações

Lista de 17 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema Equações com questões do ITA/IME.




1. (IME 2018) O número de soluções reais da equação abaixo é:

(cos x)2018 = 2 − 2(x/π)2

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Resposta: D

Resolução:

2. (ITA 2015)

É (são) verdadeira(s)

  1. apenas II.
  2. apenas I e II.
  3. apenas I e III.
  4. apenas II e III.
  5. I, II e III.

Resposta: E

Resolução:

3. (ITA 2018) Se x é um número real que satisfaz x3 = x + 2, então x10 é igual a

  1. 5x² + 7x + 9.
  2. 3x² + 6x + 8.
  3. 13x² + 16x + 12.
  4. 7x² + 5x + 9.
  5. 9x² + 3x + 10.

Resposta: C

Resolução:

4. (IME 2014) Qual o resto da divisão do polinômio x26 - x25 - 6x24 + 5x4 - 16x3 + 3x2 pelo polinômio x3 - 3x2 - x + 3 ?

  1. x² + x - 2
  2. 6x² - 4x + 3
  3. 3x - 9
  4. 6x² - 17x - 3
  5. 6x + 1

Resposta: D

Resolução:

5. (ITA 2018) O lugar geométrico das soluções da equação x² + bx + 1 = 0, quando |b| < 2, b ∈ R, é representado no plano complexo por

  1. dois pontos.
  2. um segmento de reta.
  3. uma circunferência menos dois pontos.
  4. uma circunferência menos um ponto.
  5. uma circunferência.

Resposta: C

Resolução:

6. (IME 2014)

  1. e³ + e² + 1
  2. e² + e-1 + e
  3. e³ + 1
  4. e³ + e-2 + e
  5. e³ + e-2 + e-1

Resposta: B

Resolução:

7. (ITA 2017) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:

é (são) verdadeira(s)

  1. apenas I.
  2. apenas II.
  3. apenas I e II.
  4. apenas II e III.
  5. todas.

Resposta: C

Resolução:

8. (ITA 2013) A soma das raízes da equação em C, z8 − 17z4 + 16 = 0, tais que z − |z| = 0, é

A soma das raízes da equação em C, z8 − 17z4 + 16 = 0, tais que z − |z| = 0, é

  1. 1.
  2. 2.
  3. 3.
  4. 4.
  5. 5.

Resposta: C

Resolução: Se Z-|Z|=0, então Z=|Z|. Ora, se z=|Z|, então Z é um número real positivo.

Façamos z4 = u.

Temos:

u²-17u+16=0

Logo, u=1 ou u=16

Assim, z4=1 ou z4 = 16

As soluções reais e positivas das equações acima são:

z = 1 ou z = 2

Soma: 3

Fonte: Farias Brito

9. (ITA 2018) Considere a equação

O número de pares ordenados (a, b) ∈ R2 que satisfazem a equação é

  1. 500.
  2. 501.
  3. 502.
  4. 503.
  5. 504.

Resposta: D

Resolução:

10. (IME 2012) Os polinômios P(x) = x³ + ax² + 18 e Q(x) = x³ + bx + 12 possuem duas raízes comuns. Sabendo que a e b são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação

  1. a = b
  2. 2a = b
  3. a = 2b
  4. 2a = 3b
  5. 3a = 2b

Resposta: B

Resolução: Fonte: Estratégia

Sejam 𝑟₁ e 𝑟₂ as raízes comuns aos dois e seja 𝑟₃ uma raiz somente de 𝑃(𝑥) e seja 𝑟₄ uma raiz somente de 𝑄(𝑥).

Das relações de Girard, podemos escrever:

𝑟₁𝑟₂𝑟₃ = −18 𝑒 𝑟₁𝑟₂𝑟₄ = −12

Dividindo as equações acima membro a membro, obtemos:

𝑟₃/𝑟₄ = − 18/−12 = 3/2 ⇒ 𝑟₃ = 3/2 𝑟₄

Aplicando Girard em 𝑄(𝑥) temos que:

𝑟₁ + 𝑟₂ + 𝑟₄ = 0 ⇒ 𝑟₁ + 𝑟₂ = −𝑟₄

Aplicando Girard em 𝑃(𝑥), temos que:

𝑟₁𝑟₂ + (𝑟₁ + 𝑟₂)𝑟₃ = 0 ⇒ − 12/𝑟₄ + (−𝑟₄) 3/2 𝑟₄ = 0 ⇒ 𝑟₄³ = −8

Antes de continuar, note que os polinômios possuem coeficientes reais e grau 3, ou seja, eles têm pelo menos uma raiz real.

Suponha então que eles compartilhem uma raiz real. Do enunciado, temos que eles devem compartilhar outra raiz.

Se essa outra raiz for real, então todas as raízes do polinômio são reais.

Se ela for complexa, então ambos deverão ter o conjugado dessa raiz como raiz, ou seja, os polinômios deveriam ter as três raízes iguais, o que é absurdo, visto que possuem coeficientes distintos.

Suponha agora que eles compartilhem uma raiz complexa. Logo, a outra raiz compartilhada deve ser seu conjugado. Disso resulta que a raiz restante (𝑟₃ ou 𝑟₄) deve ser real.

Essa discussão nos permite afirmar que, em todo caso, 𝑟₃ 𝑒 𝑟₄ devem ser reais. Assim, podemos resolver a equação abaixo como sendo:

𝑟₄³ = −8 ⇒ 𝑟₄ = −2

Além disso:

𝑟₃ = 3/2∙ (−2) = −3

Das relações de Girard, temos que:

−𝑎 = 𝑟₁ + 𝑟₂ + 𝑟₃

Mas tínhamos que:

𝑟₁ + 𝑟₂ = −𝑟₄ = −(−2) = 2

Do que resulta:

−𝑎 = 2 − 3 = −1 ⇒ 𝑎 = 1

Por outro lado, também das relações de Girard, temos que:

𝑟₁𝑟₂ + (𝑟₁ + 𝑟₂)𝑟₄ = 𝑏

Mas tínhamos que:

𝑟₁𝑟₂ = − 12/𝑟₄ = − 12/−2 = 6

Ou seja:

6 + 2 ∙ (−2) = 𝑏 ⇒ 𝑏 = 2

Por fim: 𝑏 = 2𝑎.

11. (IME 2016) Seja a equação

O produto das raízes reais desta equação é igual a:

  1. 1 3
  2. 1 2
  3. 3 4
  4. 2
  5. 3

Resposta: A

Resolução:

12. (IME 2015) Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3m + 14400 = n², determine o resto da divisão de m+n por 5.

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Resposta: E

Resolução:

13. (IME 2016) O polinômio p(x) = x3 - bx² + 80x - c possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se que duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de c menores do que c é c². Qual é o valor de b?

  1. 11
  2. 13
  3. 17
  4. 23
  5. 29

Resposta: E

Resolução:

14. (ITA 2012)

é (são) sempre verdadeira(s) apenas

  1. I.
  2. I e III
  3. II e III.
  4. II e IV.
  5. I, III e IV .

Resposta: C

Resolução:

15. (IME 2015) O polinômio x³+ ax² + bx + c tem raízes reais α,−α e 1/α. Portanto o valor da soma b + c² + ac + b c² é:

  1. −2
  2. −1
  3. 0
  4. 1
  5. 2

Resposta: A

Resolução:

16. (ITA) Se x é um número real que satisfaz x3 = x + 2, então,x10 é igual a

  1. 5x2 + 7x + 9.
  2. 3x2 + 6x + 8.
  3. 13x2 + 16x + 12.
  4. 7x2 + 5x + 9.
  5. 9x2 + 3x + 10.

Resposta: C

Resolução:

17. (ITA 2018) Com relação à equação t g 3 x - 3 t g x 1 - 3 t g 2 x + 1 = 0 podemos afirmar que

  1. no intervalo ] - π 2 , π 2 [ soma das soluções é igual a 0
  2. no intervalo ] - π 2 , π 2 [ a soma das soluções é maior que 0
  3. a equação admite apenas uma solução real.
  4. existe uma única solução no intervalo [ 0 , π 2 ]
  5. existem duas soluções no intervalo ] - π 2 , 0 ]

Resposta: B

Resolução: