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Matrizes e Determinantes

Lista de 16 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema Matrizes e Determinantes com questões do ITA/IME.



01. (ITA 2021) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações:

I. (A + B)² = A² + 2AB + B².

II. A comuta com qualquer matriz simétrica.

III. B comuta com qualquer matriz antissimétrica.

IV. det (A B) = 0.

É(são) VERDADEIRA(S):

  1. nenhuma.
  2. apenas I.
  3. apenas III.
  4. apenas IV.
  5. apenas II e IV.

02. (ITA 2021) Seja A uma matriz real quadrada de ordem 2 tal que

Então, o traço da matriz A é igual a:

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

03. (ITA 2019) Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n x n inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:

I. |det(A)| = 1.

II. AT = A-1.

III. A + A-1 é uma matriz diagonal.

É(são) sempre VERDADEIRA(S)

  1. apenas I.
  2. apenas III.
  3. apenas I e II.
  4. apenas I e III.
  5. todas.

04. (ITA 2018) Sejam x1,....x5 e y1,....y5 números reais arbitrários e A = (aij) uma matriz 5 x 5 definida por aij = xi + xj, 1 ≤ i, j ≤ 5. Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

05. (ITA 2018) Sejam A e B matrizes quadradas n×n tais que A+B = A·B e In a matriz identidade n×n. Das afirmações:

I. In − B é inversível;

II. In − A é inversível;

III. A · B = B · A.

é (são) verdadeira(s)

  1. Somente I.
  2. Somente II.
  3. Somente III.
  4. Somente I e II.
  5. Todas.

06. (ITA 2018) Uma progressão aritmética (a1,a2,...,an) satisfaz a propriedade: para cada n ∈ N, a soma da progressão é igual a 2n2 + 5n. Nessas condições, o determinante da matriz é

  1. -96
  2. -85
  3. 63
  4. 99
  5. 115

07. (ITA 2018) Considere a matriz

x ∈ R. Se o polinômio p(x) é dado por p(x) = detA, então o produto das raízes de p(x) é

  1. 1 2
  2. 1 3
  3. 1 5
  4. 1 7
  5. 1 11

08. (ITA 2017)

Considere A = P −1DP. O valor de det(A² + A) é

  1. 144.
  2. 180.
  3. 240.
  4. 324.
  5. 360.

09. (IME 2017)

Seja

com a ε R . Sabe-se que det(A² - 2A + ℓ = 16). A soma dos valores de a que satisfazem essa condição é:

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

10. (ITA 2016)

Se M

11. (IME 2015) Seja O maior valor de a, com a≠1, que satisfaz A24 = I é:

  1. 1 2
  2. √2 2
  3. √3 2
  4. √2 4 ( 3 - 1 )
  5. √2 4 ( 31 ) 2 4 ( 3 1 )

12. (ITA 2015) Considere a matriz M = (mij )2×2 tal que mij = j − i + 1, i, j = 1, 2. Sabendo-se que então o valor de n é igual a

  1. 4.
  2. 5.
  3. 6.
  4. 7.
  5. 8.

13. (IME 2014) Dada a matriz A, a soma do módulo dos valores de x que tornam o determinante da matriz A nulo é:

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
  5. 11

14. (ITA 2014) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica:

I. Se o produto AB for inversível, então n é par;

II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar;

III. Se B for inversível, então n é par.

Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)

  1. apenas I.
  2. apenas I e II.
  3. apenas I e III.
  4. apenas II e III.
  5. todas.

15. (ITA 2014) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade

Então, um valor possível para o determinante da inversa de M é

  1. 1 3
  2. 1 2
  3. 2 3
  4. 4 5
  5. 5 4

16. (ITA 2014) Considere a equação A(t)X = B(t), t ∈ R, em que

Sabendo que det A(t) = 1 e t ≠ 0, os valores de x, y e z são, respectivamente,

  1. 2 √2, 0, −3√2.
  2. − 2√2, 0, −3√2.
  3. 0, 3√2, 2√2.
  4. 0, 2√3, √3.
  5. 2 √3, − √3, 0.





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