Progressões Aritméticas

Aplicações: Progressão Aritmética

Engenharia civil: Projeção de periodo para completar uma escavação de metro

Táxis: O preço do táxi varia conforme uma PA

Economia: Cálculo de juros e investimentos.

Natureza: A famosa sequência de Fibonacci.

Calendários: Os dias são uma PA de razão 1.

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = (3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma sequência pode ser finita ou infinita.

O exemplo dado (conjunto A) é de uma sequência finita.

Já a sequência dos números pares P = (0, 2, 4, 6, 8, ...) é infinita.

Exercício resolvido:

Considere as seguintes sequências de números:

I. 3, 7, 11,...

II. 2, 6, 18,...

III. 2, 5, 10, 17,...

O número que continua cada uma das sequências na ordem dada deve ser respectivamente:

a) 15, 36 e 24

b) 15, 54 e 24

c) 15, 54 e 26

d) 17, 54 e 26

e) 17, 72 e 26

Observe que a sequência I tem razão igual a 4, pois, 3 ⟶ 7 ⟶ 11 ⟶ 15 “vai de 4 em 4” a razão da progressão é 4, ou a diferença entre 7 e 3 é igual a 4.

A sequência II não é uma PA, pois, a lei de formação se dá em fatores que são obtidos multiplicando os termos por três. Sendo assim: 2 ⟶ 6 ⟶ 18 ⟶ 54.

A sequência III não é uma PA, pois, a lei de formação se dá em somas de números ímpares distintos (+ 3, +5, +7, +9). Sendo assim: 2 ⟶ 5 ⟶ 10 ⟶ 17 ⟶ 26.

Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética (PA) toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:

A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)

B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)

C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)

D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 (PA decrescente)

A diferença entre os termos é chamada de razão r.

Fórmula do enésimo termo

Pela definição de PA, a fórmula do segundo termo é:

Logo se pode deduzir que para um termo qualquer ax:

Importante

A lei de formação, ou seja, a expressão matemática que relaciona entre si os termos da sequência é denominada termo geral ou generalização.

Exemplos de aplicação do termo geral de uma PA

Considere a sequência cujo termo geral (lei geral ou generalização) seja dado por a_n = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.

Observe que atribuindo valores para n, obteremos o termo an (enésimo termo) correspondente.

Assim, por exemplo, para n = 20, teremos:

a_n = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa sequência (a₂₀) é igual a 65.

Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever os demais termos da sequência “S” que seria:

S = (8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Outro exemplo:

Seja por exemplo a sequência de termo geral a_n = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.

Nestas condições, podemos concluir que a sequência poderá ser escrita como:

(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Pela lei geral de formação:

a₆ = 70 porque a₆ = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

Propriedades das Progressões

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos equidistantes deste.

Exemplo:

Seja uma PA representada por três termos: (m, n, r )

O termo n, é a média entre os “vizinhos”

Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.

Exemplo geral:

Considere uma PA: (m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Exemplo prático:

Sabendo que a sequência (1 – 3x, x - 2, 2x + 1) é uma PA, determine o valor de X.

Pela propriedade a₂ - a₁ = a₃ - a₂

a₁ = primeiro termo = 1-3x

a₂ = segundo termo = x-2

a₃ = terceiro termo = 2x+1

Resolvendo a equação

Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA (a₁, a₂, a₃, ..., an_-1, an)

A soma dos n primeiros termos Sn = a₁ + a₂ + a₃ + ... + an_-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos:

Sn = a₁ + a₂ + a₃ + ... + an_-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:

Sn = a_n + an_-1 + ... + a₃ + a₂ + a₁

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:

2 vezes S_n = (a₁ + a_n ) + (a₂ + a_n-1) + ... + (a_n + a₁ )

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor (são iguais à soma dos termos extremos a₁ + an ), de onde concluímos que:

2 x S_n = (a₁ + a_n).n , onde n é o número de termos da PA. Daí:

Exemplo:

Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.

Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, ... )

Precisamos conhecer o valor de a200 .

Mas, a₂₀₀ = a₁ + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399

Logo, S_n = [(1 + 399). 200]/2 = 40.000

Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40.000.

Resumo

Nesta aula vimos um tipo específico de progressão, a PA. Progressão Aritmética é toda sequência de números na qual a diferença entre um termo e outro é constante. Essa diferença é chamada de razão, e costuma ser representada pela letra r.

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